Question

【題目】已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．

（1）求證：AC·AD=AB·AE；

（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AC=4.

【解析】

（1）連接DE，由題意可得∠ADE=90°，∠ABC=90°，又∠A是公共角，從而可得△ADE∽△ABC，由相似比即可得；

（2）連接OB，由BD是切線，得OD⊥BD，有E為OB中點，則可得OE=BE=OD，從而可得∠OBD=∠BAC=30°，所以AC=2BC=4；

（1）連接DE，∵AE是直徑，∴∠ADE=90o，∴∠ADE=∠ABC，在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC，∴，即AC·AD=AB·AE

（2）連接OD，∵BD是圓O的切線，則OD⊥BD，在Rt△OBD中，OE=BE=OD

∴OB=2OD，∴∠OBD=30°，同理∠BAC=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2×2=4.