Question

【題目】如圖1，△ABC是等腰三角形，O是底邊BC中點，腰AB與⊙O相切于點D

(1)求證：AC是⊙O的切線；

(2)如圖2，連接CD，若tan∠BCD＝，⊙O的半徑為，求BC的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BC=6.

【解析】

（1）連接OD，作OF⊥AC于F，如圖，利用等腰三角形的性質得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根據切線的性質得OD⊥AB，然后利用角平分線的性質得到OF=OD，從而根據切線的判定定理得到結論；
（2）過D作DF⊥BC于F，連接OD，根據三角函數的定義得到，設DF=a，OF=x，則CF=4a，OC=4a-x根據相似三角形的性質得到，根據勾股定理即可得到結論．

(1)證明：連接OD，OA，作OF⊥AC于F，如圖，

∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，

∵AB與⊙O相切于點D，

∴OD⊥AB，

而OF⊥AC，

∴OF＝OD，

∴AC是⊙O的切線；

(2)過D作DF⊥BC于F，連接OD，

∵tan∠BCD＝，

∴，

設DF＝a，OF＝x，則CF＝4a，OC＝4a﹣x，

∵O是底邊BC中點，

∴OB＝OC＝4a﹣x，

∴BF＝OB﹣OF＝4a﹣2x，

∵OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∴∠BDF+∠FDO＝90°，

∵DF⊥BC，

∴∠DFB＝∠OFD＝90°，∠FDO+∠DOF＝90°，

∴∠BDF＝∠DOF，

∴△DFO∽△BFD，

∴，

∴，

解得：x1＝x2＝a，

∵⊙O的半徑為，

∴OD＝，

∵DF2+FO2＝DO2，

∴(x)2+x2＝()2，

∴x1＝x2＝a＝1，

∴OC＝4a﹣x＝3，

∴BC＝2OC＝6．