Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：
①當x＞0時，y＞0；
②若a=﹣1，則b=4；
③拋物線上有兩點P（x1 ， y1）和Q（x2 ， y2），若x1＜1＜x2 ， 且x1+x2＞2，則y1＞y2；
④點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6 ．
其中真命題的序號是（ ）

A.①
B.②
C.③
D.④

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①當x＞0時，函數圖象過一四象限，當0＜x＜b時，y＞0；當x＞b時，y＜0，故本選項錯誤；
②二次函數對稱軸為x=﹣ =1，當a=﹣1時有 =1，解得b=3，故本選項錯誤；
③∵x1+x2＞2，
∴ ＞1，
又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，
∴Q點距離對稱軸較遠，
∴y1＞y2 ， 故本選項正確；
④如圖，作D關于y軸的對稱點D′，E關于x軸的對稱點E′，
連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．

當m=2時，二次函數為y=﹣x2+2x+3，頂點縱坐標為y=﹣1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（﹣1，4）；C點坐標為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，﹣3）；
則DE= = ；D′E′= = ；
∴四邊形EDFG周長的最小值為 + ，故本選項錯誤．
故選C．