Question

如圖所示，△DEF中，DE=DF，過EF上一點A作直線與DE交于點B，與DF的延長線交于點C，且BE=CF．
求證：AB=AC．
證明：過B作BG∥CD交EF于G，∴∠EGB=∠EFD．∵DE=DF，∴______．
∴______．∴BE=BG．
∵BE=CF，∴BG=CF．
∵BG∥CD，∴∠GBA=∠FCA，∠AGB=∠AFC．
∴△AGB≌△AFC．∴AB=AC．
閱讀后回答下列問題：
（1）試在上述過程中的橫線上填寫適當的步驟；
（2）還有別的輔助線作法嗎？若有，試說出一種：______；
（3）若DE=DF，AB=AC，則BE、CF之間有何關系？
（4）若AB=AC，BE=CF，DF=8cm，則DE的長為______；
（5）若AB=m•AC，DE=DF，CF=a，則BE的長為______．

Answer 1

解：（1）∠E=∠EFD，∠E=∠FGB；
（2）過點B作BH∥EF交CD于H；
（3）BE=CF；
（4）8cm；
（5）過B作BG∥CD交EF于G，
∵∠BGE=∠DFE，DE=DF，
∴∠E=∠DFE，
∴∠E=∠BGE，
∴BE=BG，
又∵BG∥CF，
∴△AGB∽△AFC，
∴BG：CF=AB：AC，
∴BE：CF=AB：AC，
∴BE=ma．
分析：（1）由于DE=DF，利用等邊對等角，可知∠E=∠EFD，再利用等量代換，可得∠E=∠EGB．
（2）過C作CH∥DE，交EF的延長線于H．
（3）BE=CF．過B作BG∥CD交EF于G，可先證△AGB≌△AFC，那么有BG=CF，再由BG∥CD，可得∠BGE=∠DFE，而BE=CF，故BE=BG，于是∠BGE=∠BEG，因此∠E=∠DFE，那么DE=DF．
（4）過B作BG∥CD交EF于G，先證△AGB≌△AFC，就有BG=CF，而BE=CF，所以BE=BG，可以知道∠E=∠BGE，再由BG∥CD，可得∠BGE=∠DFE，于是∠E=∠DFE，故DE=DF=8cm．
（5）過B作BG∥CD交EF于G，∠BGE=∠DFE，而DE=DF，可得∠E=∠DFE，那么就有∠E=∠BGE，于是BE=BG，再利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△AGB∽△AFC，于是就有BG：CF=AB：AC，而BG=BE，那么BE：CF=AB：AC，就可求出BE．
點評：本題考查了三角形全等的判定及性質；本題主要是作輔助線，以及利用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質．