Question

【題目】如圖是一塊含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為0），現有射線CP繞著點C從CA順時針以每秒2度的速度旋轉到與△ACB外接圓相切為止．在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．

（1）當射線CP與△ABC的外接圓相切時，求射線CP旋轉度數是多少？

（2）當射線CP分別經過△ABC的外心、內心時，點E處的讀數分別是多少？

（3）當旋轉7.5秒時，連接BE，求證：BE＝CE．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）見解析

【解析】

（1）CP過△ABC外心時（即過O點）時，∠BCE＝60°，根據圓周角定理，則點E處的讀數是120°；當CP過△ABC的內心時，即CP平分∠ACB，則∠BCE＝45°，根據圓周角定理，則點E處的讀數是90°．

（2）由于每次旋轉的度數一樣，所以旋轉x秒后，∠BCE的度數為90°2x，從而得出∠BOE的度數，也即可得出y與x的函數式．

（3）根據已知，知旋轉了15°，即可求得∠EBC＝∠BCE＝75°，從而證明結論．

（1）∵∠BCA＝90°，

∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓，

當CP過△ABC外心時（即過O點），

∵∠CAB＝30°，

∴∠BCE＝60°，

∴∠BOE＝120°，即E處的讀數為120，

當CP過△ABC的內心時，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°，

∴E處的讀數為90．

（2）旋轉x秒后，∠BCE的度數為902x，∠BOE的度數為180°4x，

故可得y與x的函數式為：y＝180°4x；

（3）在圖2中，當旋轉7.5秒時，∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠ECA＝∠EBA＝15°，

則∠BCE＝75°，

∵∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝∠BCE＝75°，

∴BE＝EC．