Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OB＝OD，BD＝CD，∠BAC＝∠BDC＝90°．

（1）填空：∠ABD＝∠　 　；

（2）求的值；

（3）點D關于直線BC的對稱點為N，連接AN，請補全圖形，探究線段AN，AD有怎樣的關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）ACD；（2）；（3）AD⊥AN，．

【解析】

（1）因為∠BAC=∠BDC=90°，得到∠ABD+∠AOB=90°，∠ACD+∠COD=90°，根據等角的余角相等，即可得到∠ABD=∠ACD．

（2）作DH⊥OC于H．證明△BAO≌△DHO，根據全等三角形的性質得到AB=DH，設OD=OB=a，則BD=CD=2a，根據等面積法求出DH的長度，即可求出的值；

（3）連接BN、CN．根據△BDC是等腰直角三角形，得到D、N關于BC對稱，有O′A=O′D=O′N=O′B=O′C，得到A、B、N、C、D五點共圓，根據圓周角定理得到∠AND=∠ACD，即可求出

解：（1）∵∠BAC=∠BDC=90°，

∴∠ABD+∠AOB=90°，∠ACD+∠COD=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴∠ABD=∠ACD．

故答案為ACD．

（2）作DH⊥OC于H．

∵∠BAO=∠DHO=90°，∠AOB=∠DOH，OB=OD，

∴△BAO≌△DHO，

∴AB=DH，設OD=OB=a，則BD=CD=2a，

∴

（3）結論：AD⊥AN，

理由：連接BN、CN．

∵△BDC是等腰直角三角形，

D、N關于BC對稱，

∴四邊形DBNC是正方形，設BC的中點為O′，連接O′N、O′A、O′D．

則有O′A=O′D=O′N=O′B=O′C，

∴A、B、N、C、D五點共圓，

∵DN是⊙O′的直徑，

∴∠DAN=90°，

∴AD⊥AN，

∵∠AND=∠ACD，

∴tan∠AND=tan∠ACD，

∴