Question

   問題提出

   平面內不在同一條直線上的三點確定一個圓．那么平面內的四點(任意三點均不在同一

直線上），能否在同一個圓呢？

   初步思考

   設不在同一條直線上的三點A、B、C確定的圓為⊙O． 

    ⑴當C、D在線段AB的同側時，

    如圖①，若點D在⊙O上，此時有∠ACB＝∠ADB，理由是                 ；

如圖②，若點D在⊙O內，此時有∠ACB     ∠ADB；

如圖③，若點D在⊙O外，此時有∠ACB     ∠ADB．（填“＝”、“＞”或“＜”）；

 

由上面的探究，請直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：            ．

   類比學習

   （2）仿照上面的探究思路，請探究：當C、D在線段AB的異側時的情形．

 

此時有              ，   此時有               ， 此時有               ．

由上面的探究，請用文字語言直接寫出A、B、C、D四點在同一個圓上的條件：   ．   

  拓展延伸

  （3）如何過圓上一點，僅用沒有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？

      已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上．

      求作：CN⊥AB．

      作法：①連接CA，CB；

            ②在上任取異于B、C的一點D，連接DA，DB；

      ③DA與CB相交于E點，延長AC、BD，交于F點；

      ④連接F、E并延長，交直徑AB于M；

      ⑤連接D、M并延長，交⊙O于N．連接CN．

   則CN⊥AB．

請按上述作法在圖④中作圖，并說明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結論）

Answer 1

（1）同弧所對的圓周角相等．

  ∠ACB＜∠ADB，∠ACB＞∠ADB．

   答案不惟一，如：∠ACB＝∠ADB．

（2）如圖：

此時∠ACB＋∠ADB＝180°, 此時∠ACB＋∠ADB＞180°, 此時∠ACB＋∠ADB＜180

若四點組成的四邊形對角互補，則這四點在同一個圓上．

（3）作圖正確．

∵AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°．

∴點E是△ABF三條高的交點．

∴FM⊥AB．

∴∠EMB＝90°．

∠EMB＋∠EDB＝180°，

∴點E，M，B，D在同一個圓上．

∴∠EMD＝∠DBE．

又∵點N，C，B，D在⊙O上，

∴∠DBE＝∠CND，∠EMD＝∠CND．

∴FM∥CN．

∴∠CPB＝∠EMB＝90°．

∴CN⊥AB．

（注：其他正確的說理方法參照給分．）