Question

2．如圖⊙O的半徑為2，AB為直徑．過AO的中點C作CD⊥AB交⊙O于點D，DE為⊙O的直徑，點P為⊙O上動點，則2PC+PE的最小值是2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 延長OA到K，證明△COP∽△POK，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得PK=2PC，則2PC+PE的最小值就是KE的長，作EH⊥AB，在直角△KEH中利用勾股定理即可求得EK的長．

解答 解：延長OA到K，使AK=AO=2．
∵O是AO的中點，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴$\frac{OC}{OP}$=$\frac{OP}{OK}$=$\frac{1}{2}$．
又∵∠COP=∠POK，
∴△COP∽△POK，
∴$\frac{PC}{PK}$=$\frac{OC}{OP}$=$\frac{1}{2}$，即PK=2PC．
∴2PC+PE=PE+PK≥EK．
作EH⊥BC于點H．
∵在直角△COD中，cos∠DOC=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠DOC=60°，
∴∠EOH=∠DOC=60°，
∴HE=OE•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴EK=$\sqrt{{5}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
即最小值是2$\sqrt{7}$．
故答案是：2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，以及路徑最短問題，正確證明PK=2PC是解題的關鍵．