Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，對角線AC、BD交于點O，BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，連接OE．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

（1）由AD∥BC，BD平分∠ABC，可得AD＝AB，結合AD∥BC，可得四邊形ABCD是平行四邊形，進而，可證明四邊形ABCD是菱形，

（2）由四邊形ABCD是菱形，可得OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，根據“在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半”，即可求解.

（1）證明：∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AD＝AB，

∵AB＝BC，

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AB＝BC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，

在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，

∴BD＝2OD＝8，

∵DE⊥BC，

∴∠DEB＝90°，

∵OB＝OD，

∴OE＝BD＝4．