Question

銳角△ABC中，BC＝6,兩動點M、N分別在邊AB、AC上滑動，且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN，設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y（y ＞0）,當x ＝        ，公共部分面積y最大，y最大值 ＝         ,

Answer 1

公共部分分為三種情形：在三角形內；剛好一邊在BC上，此時為正方形；正方形有一部分在三角形外，此時為矩形．顯然在內部時的面積比剛好在邊上時要小，所以需比較后兩種情形時的面積大小．為正方形時可求出面積的值，為矩形時需求面積表達式再求最大值．
解：公共部分分為三種情形：在三角形內；剛好一邊在BC上，此時為正方形；正方形有一部分在三角形外，此時為矩形．顯然在內部時的面積比剛好在邊上時要小，所以需比較后兩種情形時的面積大小．

（1）求公共部分是正方形時的面積，
作AD⊥BC于D點，交MN于E點，
∵BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
∵MN∥BC，
∴即，
解得x=2.4，
此時面積y=2.4²=5.76．
（2）當公共部分是矩形時如圖所示：
設DE=a，根據得，
所以a=4-x，公共部分的面積y=x（4-x）=-x²+4x，
∵-＜0，
∴y有最大值，
當x=-=3時，y_最大值==6．
綜上所述，當x=3時，公共部分的面積y最大，最大值為6．