Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，點E是AD邊上的點，連接BE．

（1）如圖1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四邊形ABCD的周長；

（2）如圖2，點F是平行四邊形外一點，FB＝CD．連接BF、CF，CF與BE相交于點G，若∠FBE+∠ABC＝180°，點G是CF的中點，求證：2BG+ED＝BC．

Answer 1

【答案】（1）26；（2）見解析

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，由平行線的性質得出∠AEB＝∠CBE，由BE平分∠ABC，得出∠ABE＝∠CBE，推出∠ABE＝∠AEB，則AB＝AE，AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝5，得出AB＝5，即可得出結果；

（2）連接CE，過點C作CK∥BF交BE于K，則∠FBG＝∠CKG，由點G是CF的中點，得出FG＝CG，由AAS證得△FBG≌△CKG，得出BG＝KG，CK＝BF＝CD，由平行四邊形的性質得出∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，由平行線的性質得出∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，易證∠EKC＝∠D，∠CKB＝∠BAE，由AAS證得△AEB≌△KBC，得出BC＝BE，則∠KEC＝∠BCE，推出∠KEC＝∠DEC，由AAS證得△KEC≌△DEC，得出KE＝ED，即可得出結論．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE，

∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，

∴AB＝5，

∴平行四邊形ABCD的周長＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；

（2）連接CE，過點C作CK∥BF交BE于K，如圖2所示：

則∠FBG＝∠CKG，

∵點G是CF的中點，

∴FG＝CG，

在△FBG和△CKG中，

∵ ，

∴△FBG≌△CKG（AAS），

∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，

∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，

∵∠FBE+∠ABC＝180°，

∴∠FBE+∠D＝180°，

∴∠CKB+∠D＝180°，

∴∠EKC＝∠D，

∵∠BAE+∠D＝180°，

∴∠CKB＝∠BAE，

在△AEB和△KBC中，

∵，

∴△AEB≌△KBC（AAS），

∴BC＝EB，

∴∠KEC＝∠BCE，

∴∠KEC＝∠DEC，

在△KEC和△DEC中，

∵，

∴△KEC≌△DEC（AAS），

∴KE＝ED，

∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，

∴2BG+ED＝BC．