Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側，△ABC有一個內角為60°．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若MN與直線y=﹣2x平行，且M，N位于直線BC的兩側，y1＞y2，解決以下問題：

①求證：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2；（2）①證明見解析；②﹣＜y0≤0．

【解析】

（1）由A的坐標確定出c的值，根據已知不等式判斷出y1-y2＜0，可得出拋物線的增減性，確定出拋物線對稱軸為y軸，且開口向下，求出b的值，如圖1所示，可得三角形ABC為等邊三角形，確定出B的坐標，代入拋物線解析式即可；

（2）①設出點M（x1，-x12+2），N（x2，-x22+2），由MN與已知直線平行，得到k值相同，表示出直線MN解析式，進而表示出ME，BE，NF，BF，求出tan∠MBE與tan∠NBF的值相等，進而得到BC為角平分線；

②三角形的外心即為三條垂直平分線的交點，得到y軸為BC的垂直平分線，設P為外心，利用勾股定理化簡PB2=PM2，確定出△MBC外心的縱坐標的取值范圍即可．

（1）∵拋物線過點A（0，2），

∴c=2，

當x1＜x2＜0時，x1-x2＜0，由（x1-x2）（y1-y2）＞0，得到y1-y2＜0，

∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，

同理當x＞0時，y隨x的增大而減小，

∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b=0，

∵以O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點B，C，如圖1所示，

∴△ABC為等腰三角形，

∵△ABC中有一個角為60°，

∴△ABC為等邊三角形，且OC=OA=2，

設線段BC與y軸的交點為點D，則有BD=CD，且∠OBD=30°，

∴BD=OBcos30°=，OD=OBsin30°=1，

∵B在C的左側，

∴B的坐標為（-，-1），

∵B點在拋物線上，且c=2，b=0，

∴3a+2=-1，

解得：a=-1，

則拋物線解析式為y=-x2+2；

（2）①由（1）知，點M（x1，-x12+2），N（x2，-x22+2），

∵MN與直線y=-2x平行，

∴設直線MN的解析式為y=-2x+m，則有-x12+2=-2x1+m，即m=-x12+2x1+2，

∴直線MN解析式為y=-2x-x12+2x1+2，

把y=-2x-x12+2x1+2代入y=-x2+2，解得：x=x1或x=2-x1，

∴x2=2-x1，即y2=-（2-x1）2+2=-x12+4x1-10，

作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足為E，F，如圖2所示，

∵M，N位于直線BC的兩側，且y1＞y2，則y2＜-1＜y1≤2，且-＜x1＜x2，

∴ME=y1-（-1）=-x12+3，BE=x1-（-）=x1+，NF=-1-y2=x12-4x1+9，BF=x2-（-）=3-x1，

在Rt△BEM中，tan∠MBE=

在Rt△BFN中，tan∠NBF=

∵tan∠MBE=tan∠NBF，

∴∠MBE=∠NBF，

則BC平分∠MBN；

②∵y軸為BC的垂直平分線，

∴設△MBC的外心為P（0，y0），則PB=PM，即PB2=PM2，

根據勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0-y1）2，

∵x12=2-y1，

∴y02+2y0+4=（2-y1）+（y0-y1）2，即y0=y1-1，

由①得：-1＜y1≤2，

∴-＜y0≤0，

則△MBC的外心的縱坐標的取值范圍是-＜y0≤0．