Question

【題目】【問題背景】

已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行線l1與l2、l2與l3、l3與l4之間的距離分別為d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2，我們把四個頂點分別在l1、l2、l3、l4這四條平行線上的四邊形稱為“格線四邊形”．

【問題探究】

（1）如圖1，正方形ABCD為“格線四邊形”，則正方形ABCD的邊長為 ．

（2）矩形ABCD為“格線四邊形”，其長：寬=2：1，求矩形ABCD的寬．

【問題拓展】

（3）如圖1，EG過正方形ABCD的頂點D且垂直l1于點E，分別交l2，l4于點F，G，將∠AEG繞點A順時針旋轉30°，得到∠AE′D′（如圖2），點D′在直線l3上，以AD′為邊在E′D′左側作菱形AB′C′D′，使B′C′，分別在直線l2，l4上，求菱形AB′C′D′的邊長．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）

【解析】

試題分析：（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的邊長；

（2）如圖2過點B作BE⊥L1于點E，反向延長BE交L4于點F，則BE=1，BF=3，由四邊形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∠ABE+∠FBC=90°，根據∠ABE+∠EAB=90°，得到∠FBC=∠EAB，然后分類討論，求得矩形的寬．

（3）首先過點E′作ON垂直于l1分別交l1，l2于點O，N，∠AEO=30°，則∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的長，進而由勾股定理可知菱形的邊長．

解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90°∴∠DGC=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ADC=90°，AD=CD，

∵∠ADE+∠2=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠ADE，

∵l3∥l4

∴∠1=∠DCG，

∠ADE=∠DCG，

在△AED與△DGC中，

，

∴△AED≌△GDC（AAS），

∴AE=GD=1，ED=GC=3，

∴AD==，

故答案為：；

（2）如圖2過點B作BE⊥L1于點E，反向延長BE交L4于點F，

則BE=1，BF=3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠FBC=90°，

∵∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠FBC=∠EAB，

當AB＜BC時，AB=BC，

∴AE=BF=，

∴AB==；

如圖3當AB＞BC時，

同理可得：BC=，

∴矩形的寬為：，；

（3）如圖4過點E′作ON垂直于l1分別交l1，l4于點O，N，

∵∠OAE′=30°，則∠E′FN=60°

∵AE′=AE=1，

故E′O=，E′N=，E′D′=，

由勾股定理可知菱形的邊長為：==，