Question

【題目】如圖，菱形ABCD內兩點M、N，滿足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四邊形BMDN的面積是菱形ABCD面積的 ，則cosA= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，連接AN、CM，延長BM交AD于H．
∵AB⊥BN，AD⊥DN，
∴∠ABN=∠ADN=90°，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
，
∴△ABN≌△ADN，
∴∠BAN=∠DAN，
∴AN是菱形ABCD的角平分線，同理CM也是菱形ABCD的角平分線，設BD與AC交于點O，
易知四邊形BMDN是菱形，設S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，
∵四邊形BMDN的面積是菱形ABCD面積的 ，
∴S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，
∴AM=4OM，CN=4ON，設ON=OM=k，則AM=CN=4k，
∵△ABO∽△BNO，
∴OB2=OAON=5k2 ，
∴OB= k，AB=AD= = k，
∵ ADBH= BDAO，
∴BH= = ，
∴AH= = = k，
∴cosA= = = ．
故答案為
如圖，連接AN、CM，延長BM交AD于H．AN是菱形ABCD的角平分線，同理CM也是菱形ABCD的角平分線，設BD與AC交于點O，
易知四邊形BMDN是菱形，設S△OMB=S△ONB=S△OMD=S△OND=a，因為四邊形BMDN的面積是菱形ABCD面積的 ，所以S△AMB=S△AMD=S△CNB=S△CND=4a，推出AM=4OM，CN=4ON，設ON=OM=k，則AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出OB2=OAON=5k2 ， 推出OB= k，AB=AD= = k，由 ADBH= BDAO，推出BH= = ，再利用勾股定理求出AH即可解決問題．