Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點O為對角線BD的中點，點P從點A出發，沿折線AD﹣DO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，當點P與點A不重合時，過點P作PQ⊥AB于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點P運動的時間為t（秒）．

（1）如圖2，當點N落在BD上時，求t的值；

（2）當正方形PQMN的邊經過點O時（包括正方形PQMN的頂點），求此時t的值；
（3）當點P在邊AD上運動時，求S與t之間的函數關系式；
（4）寫出在點P運動過程中，直線DN恰好平分△BCD面積時t的所有可能值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當點N落在BD上時，如圖1．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴ = ，

∵PN=PQ=PA=t，DP=6﹣t，QB=AB=8，

∴ = ，

∴t= ．

∴當t= s時，點N落在BD上

（2）

解：①如圖2

，

則有QM=QP=t，MB=8﹣t．

∵四邊形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵點O是DB的中點，

∴QM=BM．

∴t=8﹣t．

∴t=4．

②如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=8，AD=6，

∴DB=10．

∵點O是DB的中點，

∴DO=5，

∴1×t=AD+DO=6+5．

∴t=11．

∴當t=4s或11s時，正方形PQMN的邊經過點O

（3）

解：①當0＜t≤ 時，如圖4．

S=S正方形PQMN=PQ2=PA2=t2．

②當 ＜t≤6時，如圖5，

∵tan∠ADB= = ，

∴ = ．

∴PG=8﹣ t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（8﹣ t）= t﹣8．

∵tan∠NFG=tan∠ADB= ，

∴ = ．

∴NF= GN= （ ﹣8）= t﹣6．

∴S=S正方形PQMN﹣S△GNF

=t2﹣ ×（ t﹣8）×（ t﹣6

=﹣ t2+14t﹣24．

綜上所述：當0＜t≤ 時，S=t2．

當 ＜t≤6時，S=﹣﹣ t2+14t﹣24

（4）

解：設直線DN與BC交于點E，

∵直線DN平分△BCD面積，

∴BE=CE=3．

①點P在AD上，過點E作EH∥PN交AD于點H，如圖7，

則有△DPN∽△DHE．

∴ = ．

∵PN=PA=t，DP=6﹣t，DH=CE=3，EH=AB=8，

∴ = ，

解得；t= ．

②點P在DO上，連接OE，如圖8，

則有OE=4，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴ = ，

∵DP=t﹣6，DO=5，OE=4，

∴PN= （t﹣6）．

∵PQ= （16﹣t），PN=PQ，

∴ （t﹣6）= （16﹣t）．

解得：t= ．

綜上所述：當直線DN平分△BCD面積時，t的值為 s或 s

【解析】（1）可證△DPN∽△DQB，從而有 = ，即可求出t的值．（2）只需考慮兩個臨界位置（①MN經過點O，②點P與點O重合）下t的值，即可解決問題．（3）根據正方形PQMN與△ABD重疊部分圖形形狀不同分成二類，如圖4、圖5，然后運用三角形相似、銳角三角函數等知識就可求出S與t之間的函數關系式．（4）由于點P在折線AD﹣DO運動，可分點P在AD上，點P在DO上兩種情況進行討論，然后運用三角形相似等知識就可求出直線DN平分△BCD面積時t的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．