Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D點，O是AB上一點，經過A、D兩點的⊙O分別交AB、AC于點E、F．
（1）用尺規補全圖形（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）求證：BC與⊙O相切；
（3）當AD= ，∠CAD=30°時，求劣弧AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，

（2）解：證明：連結OD，則OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC⊥OD，

∴BC與⊙O相切

（3）解：如圖，連接DE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠AOD=120°，

在Rt△ADE中，AE= =2，

∴⊙O的半徑=1，

∴劣弧AD的長= = π

【解析】（1）作AD的垂直平分線交AC于O，以AO為半徑畫圓O分別交AB、AC于點E、F，則⊙O即為所求；（2）連結OD，得到OD=OA，根據等腰三角形的性質得到∠OAD=∠ODA，等量代換得到∠ODA=∠CAD，根據平行線的判定定理得到OD∥AC，根據平行線的性質即可得到結論；（3）連接DE，根據圓周角定理得到∠ADE=90°，根據三角形的內角和得到∠AOD=120°，根據三角函數的定義得到AE=2，根據弧長個公式即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用弧長計算公式，掌握若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的即可以解答此題．