Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（4，），且與y軸交于點C（0，2），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊）．

（1）求拋物線的解析式及A，B兩點的坐標；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸l上是否存在一點P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請說明理由；
（3）在以AB為直徑的⊙M相切于點E，CE交x軸于點D，求直線CE的解析式．

Answer 1

解：（1）由題意，設拋物線的解析式為（a≠0）
∵拋物線經過（0，2）∴，解得：。
∴拋物線的解析式為，即：。
令y=0時，，解得：x=2或x=6。
∴A（2，0），B（6，0）。
（2）存在。
如圖1，由（1）知：拋物線的對稱軸l為x=4，

因為A、B兩點關于l對稱，連接CB交l于點P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小。
∵B（6，0），C（0，2），∴OB=6，OC=2。∴BC=2。
∴AP+CP=BC=2。
∴AP+CP的最小值為2。
（3）如圖2，連接ME，

∵CE是⊙M的切線，∴ME⊥CE，∠CEM=90°。
由題意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE，
∵在△COD與△MED中，，
∴△COD≌△MED（AAS）。∴OD=DE，DC=DM。
設OD=x，則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x，
∵在Rt△COD中，OD²+OC²=CD²，∴，解得x=。
∴D（，0）。
設直線CE的解析式為y=kx+b，
∵直線CE過C（0，2），D（，0）兩點，
則，解得：。
∴直線CE的解析式為。

解析試題分析：（1）利用頂點式求得二次函數的解析式后令其等于0后求得x的值即為與x軸交點坐標的橫坐標。
（2）根據軸對稱的性質，線段BC的長即為AP+CP的最小值。
（3）連接ME，根據CE是⊙M的切線得到ME⊥CE，∠CEM=90°，從而證得△COD≌△MED，設OD=x，在Rt△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得點D的坐標，然后利用待定系數法確定線段CE的解析式即可。