Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經過點B，交BC于另一點F．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點O作OG⊥DC，垂足為G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，

∴OA⊥AD．

∴∠OAD=∠OGD=90°．

在△ADO和△GDO中 ，

∴△ADO≌△GDO．

∴OA=OG．

∴DC是⊙O的切線

（2）解：如圖所示：連接OF．

∵OA⊥BC，

∴BE=EF= BF=12．

在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，

∴OF= =13．

∴AE=OA+OE=13+5=18．

∴tan∠ABC= =

【解析】（1）過點O作OG⊥DC，垂足為G．先證明∠OAD=90°，從而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可證明△ADO≌△GDO，則OA=OG=r，則DC是⊙O的切線；（2）連接OF，依據垂徑定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依據勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的長，最后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義求解即可．
【考點精析】關于本題考查的梯形的定義和解直角三角形，需要了解一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案．