Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，過點D作PQ∥AB分別交CA、CB延長線于P、Q，連接BD．
（1）求證：PQ是⊙O的切線；
（2）求證：BD2=ACBQ；
（3）若AC、BQ的長是關于x的方程x+ =m的兩實根，且tan∠PCD= ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ∥AB，

∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，

∵∠ACD=∠BCD，

∴∠BDQ=∠ACD，

如圖1，連接OB，OD，交AB于E，

則∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，

在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，

∴2∠ODB+2∠O=180°，

∴∠ODB+∠O=90°，

∴PQ是⊙O的切線

（2）證明：如圖2，連接AD，

由（1）知PQ是⊙O的切線，

∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，

∴AD=BD，

∵∠DBQ=∠ACD，

∴△BDQ∽△ACD，

∴ = ，

∴BD2=ACBQ

（3）解：方程x+ =m可化為x2﹣mx+4=0，

∵AC、BQ的長是關于x的方程x+ =m的兩實根，

∴ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，

∴BD2=4，

∴BD=2，

由（1）知PQ是⊙O的切線，

∴OD⊥PQ，

∵PQ∥AB，

∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，

∵tan∠PCD= ，

∴tan∠ABD= ，

∴BE=3DE，

∴DE2+（3DE）2=BD2=4，

∴DE= ，

∴BE= ，

設OB=OD=R，

∴OE=R﹣ ，

∵OB2=OE2+BE2，

∴R2=（R﹣ ）2+（ ）2，

解得：R=2 ，

∴⊙O的半徑為2

【解析】（1）根據平行線的性質和圓周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，連接OB，OD，交AB于E，根據圓周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根據三角形的內角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）證明：連接AD，根據等腰三角形的判定得到AD=BD，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）根據題意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切線，由切線的性質得到OD⊥PQ，根據平行線的性質得到OD⊥AB，根據三角函數的定義得到BE=3DE，根據勾股定理得到BE= ，設OB=OD=R，根據勾股定理即可得到結論．
【考點精析】關于本題考查的分式方程的解和圓周角定理，需要了解分式方程無解（轉化成整式方程來解,產生了增根;轉化的整式方程無解）；解的正負情況:先化為整式方程,求整式方程的解；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能得出正確答案．