Question

【題目】在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD是正方形如圖1：則有AC=BD，AC⊥BD． 旋轉(zhuǎn)圖1中的Rt△COD到圖2所示的位置，AC′與BD′有什么關(guān)系？（直接寫(xiě)出）
若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋轉(zhuǎn)Rt△COD至圖3所示的位置，AC′與BD′又有什么關(guān)系？寫(xiě)出結(jié)論并證明．

Answer 1

【答案】解：圖2結(jié)論：AC′=BD′，AC′⊥BD′， 理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵將Rt△COD旋轉(zhuǎn)得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′與△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
圖3結(jié)論：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵將Rt△COD旋轉(zhuǎn)得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ = ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
【解析】圖2：根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代換得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到結(jié)論； 圖3：根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BD′= AC′，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．