Question

如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，AH垂直BC，點E是AH上一點，延長AH至點F，使FH=EH，
（1）求證：四邊形EBFC是菱形；
（2）如果∠BAC=∠ECF，求證：AC⊥CF．

Answer 1

分析：（1）根據題意可證得△BCE為等腰三角形，由AH⊥CB，則BH=HC，從而得出四邊形EBFC是菱形；
（2）由（1）得∠2=∠3，再根據∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，從而得出AC⊥CF．

解答：證明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，
∴BH=HC．（2分）
∵FH=EH，
∴四邊形EBFC是平行四邊形．（2分）
又∵AH⊥CB，
∴四邊形EBFC是菱形．（2分）

（2）證明：∵四邊形EBFC是菱形．
∴∠2=∠3=

1

2

∠ECF．（2分）
∵AB=AC，AH⊥CB，
∴∠4=

1

2

∠BAC．（1分）
∵∠BAC=∠ECF
∴∠4=∠3．（1分）
∵AH⊥CB
∴∠4+∠1+∠2=90°．（1分）
∴∠3+∠1+∠2=90°．
即：AC⊥CF．（1分）

點評：本題考查了菱形的判定和性質，以及等腰三角形的性質，是基礎知識要熟練掌握．