Question

【題目】如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AD＝BD＝3，CD＝2，點P從點B出發沿線段BC的方向移動到點C停止，過點P作PQ⊥BC，交折線BA﹣AC于點Q，連接DQ、CQ，若△ADQ與△CDQ的面積相等，則線段BP的長度是_____．

Answer 1

【答案】或4．

【解析】

分兩種情況討論：①點Q在AB邊上時，設BP＝x，用x表示出S△DCQ和 S△AQD，即可求解；②當Q在AC上時，則△AD Q與△CD Q的面積相等可得AQ＝CQ，據此可求解.

解：分兩種情況討論：

①點Q在AB邊上時，

∵AD⊥BC，AD＝BD＝3，CD＝2，

∴S△ABD＝BDAD＝×3×3＝，∠B＝45°，

∵PQ⊥BC，

∴BP＝PQ，

設BP＝x，則PQ＝x，PD= 3-x，

∵CD＝2，

∴S△DCQ＝×2x＝x，

S△AQD＝×3×（3-x）

＝﹣x

∵△ADQ與△CDQ的面積相等，

∴x＝﹣x，

解得x＝；

②如圖，當Q在AC上時，記為Q'，過點Q'作Q'P'⊥BC，

∵AD⊥BC，

∴Q'P'∥AD，

∵△AD Q'與△CD Q'的面積相等，

∴AQ'＝CQ'，

∴DQ'是Rt△ADC斜邊上的中線，

∴DQ'= CQ'，

∴P' Q'是CD的垂直平分線，

∴DP'＝CP'＝CD＝1，

∵AD＝BD＝3，

∴BP'＝BD+DP'＝4，

綜上所述，線段BP的長度是或4．

故答案為：或4．