Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，過點A作AD⊥BC于點D，點E為線段AB中點，連接ED，EC將△EDC繞點E旋轉，使點D和點B重合，得到△EBF，延長FB、CE相交于點G，若BC=$\sqrt{5}$，則BG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖，由此CA交FG的延長線于P，作AH∥GE交PF于H．首先證明BP=BC=$\sqrt{5}$，再證明BG=GH=PH即可解決問題．

解答 解：如圖，由此CA交FG的延長線于P，作AH∥GE交PF于H．

∵△EBF是由△EDC旋轉所得，
∴∠EDC=∠EBF，
∵∠ABP+∠EBF=180°，∠EDB+∠EDC=180°，
∴∠ABP=∠EDB，
∵AD⊥BC，EB=AE，
∴∠ADB=90°，DE=EB=AE，
∴∠EDB=∠EBD=∠ABP，
∵∠ABP+∠P=90°，∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠P=∠BCA，
∴PB=BC=$\sqrt{5}$，AP=AC，
∵BE=AE，EG∥AH，
∴BG=GH，
∵AH∥CG，PA=AC，
∴PH=GH=BG，
∴BG=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查旋轉變換、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定和性質等角的余角或補角相等等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形中位線解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．