Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E為AD的中點，連結(jié)BE，將△ABE沿BE翻折，點A恰好落在AC上的點A處，若AB＝2，則AC的長度為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

連接A'D，設BE與AC交于點M，由翻折知，BE垂直平分AA'，證明△ABM≌△CDA'，推出A'C＝AM，再證明△BAM∽△CAB，設AM＝A'M＝A'C＝x，則AC＝3x，通過相似三角形對應邊的比相等可求出x的值，進一步求出AC的長度．

解：如圖，連接A'D，設BE與AC交于點M，

由翻折知，BE垂直平分AA'，

∴AB＝A'B＝2，AM＝A'M，AE＝A'E，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°，

∴∠DCA＝∠BAC，

∵點E為AD的中點，

∴AE＝DE＝A'E，

∴點A，A'，D三點在以AD為直徑的圓上，

∴∠DA'A＝∠DA'C＝90°＝∠AMB，

∴△ABM≌△CDA'（AAS），

∴A'C＝AM，

∴AM＝A'M＝A'C，

∵∠ABC＝∠ANB＝90°，∠BAM＝∠BAM，

∴△BAM∽△CAB，

∴，

設AM＝A'M＝A'C＝x，則AC＝3x，

∴，

解得，x＝（取正值），

∴3x＝2，

∴AC＝2，

故答案為：2．