Question

【題目】在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到Rt△ADE的位置，點E在斜邊AB上，連結(jié)BD，過點D作DF⊥AC于點F．

（1）如圖1，若點F與點A重合，求證：AC＝BC．

（2）如圖2，若點F在線段CA的延長線上，∠DAF＝∠DBA，請判斷線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝BE，理由見解析.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC=∠BAD，由垂直的性質(zhì)可求∠ABC=45°=∠CAB，可得AC=CB；
（2）由“AAS“可證△AFD≌△BED，可得AF=BE．

（1）由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC＝∠BAD，

∵DF⊥AC，

∴∠CAD＝90°，

∴∠BAC＝∠BAD＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°＝∠CAB，

∴AC＝CB；

（2）AF＝BE

理由如下：由旋轉(zhuǎn)得，AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠DAF＝∠ABD，

∴∠DAF＝∠ADB，

∴AF∥BD，

∴∠BAC＝∠ABD

∵∠ABD＝∠FAD，

由旋轉(zhuǎn)得，∠BAC＝∠BAD，

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝×180°＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AD＝BD，

在△AFD和△BED中，

∴△AFD≌△BED（AAS）

∴AF＝BE．