Question

【題目】如圖，為的直徑，，為的切線，直線交延長線于，．

（1）求證：是的切線；

（2）若，，求陰影部分的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）陰影部分的周長是

【解析】

（1）過點O作OH⊥CD，垂足為H，連接OD，先證明BOC≌AOE（ASA），可得OC＝OE，進而可證得OH＝OB，再結合OH⊥CD即可得證；

（2）先根據求得，再證得∠AOH＝∠DOA+∠DOH＝120°，進而利用解直角三角形求得，利用弧長公式計算弧長即可求得答案．

（1）證明：如圖，過點O作OH⊥CD，垂足為H，連接OD，

∵BC，AD為⊙O的切線，

∴∠CBO＝∠OAE＝90°，

又OB＝OA，∠BOC＝∠EOA，

∴BOC≌AOE（ASA），

∴OC＝OE，

又DC＝DE，

∴DO平分∠ADE，OD⊥CE，

∴OH＝OA，

∴OH＝OB，

又∵OH⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵在RtAEO中，∠E＝60°，

∴

∵AE＝1，

∴，

∵OD⊥CE，

∴∠DOA＝90°－∠EOA＝∠E＝60°，

∠DOH＝90°－∠COH＝90°－∠COB＝90°－∠AOE＝∠E＝60°，

，

∴弧AH的長是，

∴陰影部分的周長是．