Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)m≤x≤m1時(shí)，二次函數(shù)yx2bxc的最大值為2m，求m的值；

（3）如圖2，點(diǎn)D為直線AC上方二次函數(shù)圖像上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC、CD，設(shè)直線BD交線段AC于點(diǎn)E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)題意得到，代入，于是得到結(jié)論；

（2）先求拋物線的對(duì)稱軸，然后分m+1≤，m＜＜m+1，m＞三種情況，利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可以分別求出m的值．

（3）如圖，過作軸于，過作軸交于于，構(gòu)造，利用相似三角形的性質(zhì)得，由DM長得二次函數(shù)即可解答．

解：（1）直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，

時(shí)，，時(shí)，，

，，

拋物線經(jīng)過．兩點(diǎn)，

，

，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）在中，對(duì)稱軸為x=，當(dāng)m≤x≤m1時(shí)，二次函數(shù)yx2bxc的最大值為2m，有三種可能：
I．若m+1≤，即m≤時(shí)，當(dāng)x=m+1時(shí)，函數(shù)有最大值-2m，
∴，
解得，，，（均不合題意，舍去）

II．若m＜＜m+1，即＜m＜時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最大值為，

即；解得：
III．若m＞，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)有最大值為-2m，
∴ ，
解得，，，

綜上所述，m的值為或或．

（3）令，

，

，，

，

如圖1，過作軸交于，過作軸交于，

，

，

，

設(shè)，，

，

，

；

當(dāng)時(shí)，的最大值是；