Question

【題目】（1）教材呈現：下圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．

定理證明：請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．

定理應用：

（2）如圖②，在中，直線、分別是邊、的垂直平分線，直線、的交點為．過點作于點．求證：．

（3）如圖③，在中，，邊的垂直平分線交于點，邊的垂直平分線交于點．若，，則的長為_____________．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）5．

【解析】

（1）根據垂直得出，證明△PAC≌△PBC（SAS）即可；

（2）如圖②中，由直線、的交點為，證明出，利用等腰三角形三線合一即可證明；

（3）連接BD，BE，利用垂直平分線的性質，得出AD=BD，BE=CE，證明△BDE是等邊三角形即可．

（1）如圖①，定理證明：∵MN⊥AB，

∴

又∵

∴△PAC≌△PBC（SAS），

∴

（2）連結OA、OB、OC．

∵直線m是邊BC的垂直平分線，

∴

∵直線n是邊AC的垂直平分線，

∴

∴

∵OH⊥AB，

∴AH=BH．

（3）連接BD，BE，

∵∠ABC=120°，AB=AC，

∴∠A=∠C=30°，

∵直線垂直平分AB， 直線k垂直平分BC，

∴AD=BD，BE=CE，

∴∠A=∠ABD=∠EBＣ=∠C=30°，

∴∠DBE=120°-30°-30°=60°，∠EDＢ=∠A+∠ABD=60°，

∴△BED是等邊三角形，

∴AD=BD=BE=CE=DE，

∵AC=15，

∴，

故答案為：5.