Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE．

（1）求證：直線DF與⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）9．

【解析】試題分析： 首先連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證∠C＝∠ODC，從而可證∠B＝∠ODC，根據(jù)DF⊥AB可證DF⊥OD，所以可證線DF與⊙O相切；

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得：△BCA∽△BED，所以可證： ，解方程求出BE的長(zhǎng)度，從而求出AC的長(zhǎng)度.

試題解析： 如圖所示，

連接，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴∥，

∵，

∴；

∵點(diǎn)在⊙O上，

∴直線與⊙O相切；

∵四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴，

∵，

∴，

∴△BED∽△BCA，

∴，

∵OD∥AB， ，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴