Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過三點，且．

（1）求的值；

（2）在拋物線上求一點使得四邊形是以為對角線的菱形；

（3）在拋物線上是否存在一點，使得四邊形是以為對角線的菱形？若存在，求出點的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）D；（3）存在，，這個菱形不是正方形．

【解析】

（1）把A（0，-4）代入可求c，運用兩根關系及x2-x1=5，對式子合理變形，求b；
（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；
（3）根據四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，可得PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形．

解:（1）拋物線經過點

又由題意可知，是方程的兩個根，

，

由已知得

又

解得，

當時，拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，不合題意，舍去．

；

（2）∵四邊形是以為對角線的菱形，根據菱形的性質，點必在拋物線的對稱軸上，

又

拋物線的頂點即為所求的點；

（3）∵四邊形是以為對角線的菱形，點的坐標為

根據菱形的性質，

點必是直線與拋物線的交點，

當時，

在拋物線上存在一點，使得四邊形為菱形．

四邊形不能成為正方形，

因為如果四邊形為正方形，．點的坐標只能是，但這一點不在拋物線上.