Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，點P從B點出發，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，則從運動開始經過多少時間，△BEP為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）從運動開始經過2s或s或s或s時，△BEP為等腰三角形．

【解析】

第一問根據內錯角相等，得到兩邊平行，然后再根據三角形內角和等于180度得到另一對內錯角相等，從而證得原四邊形是平行四邊形；第二問分別考慮P在BC和DA上的情況求出t的值.

（1）∵∠BAC=∠ACD=90°，

∴AB∥CD，

∵∠B=∠D，∠B+∠BAC+∠ACB=∠D+∠ACD+∠DAC=180°，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′

由勾股定理得：AC=4cm，

即AB、CD間的最短距離是4cm，

∵AB=3cm，AE=AB，

∴AE=1cm，BE=2cm，

設經過ts時，△BEP是等腰三角形，

當P在BC上時，

①BP=EB=2cm，

t=2時，△BEP是等腰三角形；

②BP=PE，

作PM⊥AB于M，

∴BM=ME=BE=1cm

∵cos∠ABC===，

∴BP=cm，

t=時，△BEP是等腰三角形；

③BE=PE=2cm，

作EN⊥BC于N，則BP=2BN，

∴cosB==，

∴=，

BN=cm，

∴BP=，

∴t=時，△BEP是等腰三角形；

當P在CD上不能得出等腰三角形，

∵AB、CD間的最短距離是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，

當P在AD上時，只能BE=EP=2cm，

過P作PQ⊥BA于Q，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠QAD=∠ABC，

∵∠BAC=∠Q=90°，

∴△QAP∽△ABC，

∴PQ：AQ：AP=4：3：5，

設PQ=4xcm，AQ=3xcm，

在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，

∴x=，

AP=5x=cm，

∴t=5+5+3﹣=，

答：從運動開始經過2s或s或s或s時，△BEP為等腰三角形．