Question

為鼓勵大學畢業生自主創業，某市政府出臺了相關政策：由政府協調，本市企業按成本價提供產品給大學畢業生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔，李明按照相關政策投資銷售本市生產的一種新型節能燈，已知這種節能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的關系近似滿足一次函數：y=－10x＋500．
⑴李明在開始創業的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？
⑵設李明獲得的利潤為W(元)，當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
⑶物價部門規定，這種節能燈的銷售單價不得高于25元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

（1）600；（2）30；（3）500.

試題分析：（1）根據銷售額=銷售量×銷售單價，列出函數關系式；
（2）用配方法將（2）的函數關系式變形，利用二次函數的性質求最大值；
（3）把y=3000代入（2）的函數關系式中，解一元二次方程求x，根據x的取值范圍求x的值．
試題解析：⑴當x=20時，y=－10x＋500=－10×20+500=300，
300×(12－10)=300×2=600，
即政府這個月為他承擔的總差價為600元．
⑵依題意得，W=(x－10)(－10x+500)=－10x²+600x－5000=－10(x－30)²+4000
∵a=－10＜0，∴當x=30時，W有最大值4000．
即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．
⑶由題意得：－10x²＋600x－5000=3000，解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=－10＜0，拋物線開口向下，
∴結合圖象可知：當20≤x≤40時，W≥3000．

又∵x≤25，
∴當20≤x≤25時，W≥3000．
設政府每個月為他承擔的總差價為p元，
∴p=(12－10)×(－10x+500)
=－20x＋1000．
∵k=－20＜0．
∴p隨x的增大而減小，∴當x=25時，p有最小值500．
即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．
考點: 二次函數的應用．