Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，直線 y x 4與 x 軸、y 軸分別交于點 A、點 B，點 D 在 y 軸的負半軸上，若將△DAB 沿著直線 AD 折疊，點 B 恰好落在 x 軸正半軸上的點 C處.

（1）求直線 CD 的表達式；

（2）在直線 AB 上是否存在一點 P，使得 SPCD SOCD？若存在，直接寫出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)．(2) 存在一點P為P1(,),P2(12,-12).

【解析】

（1）利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A，B的坐標，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出AB的長度，由折疊的性質可得出AC=AB，結合OC=OA+AC可得出OC的長度，進而可得出點C的坐標，設OD=x，則CD=DB=x+4．，Rt△OCD中，依據勾股定理可求得x的值，從而可得到點D（0，-6），然后利用待定系數法求解即可；

（2）假設存在，設點P的坐標為(m, m 4),則F(m, m-6)，PF=利用三角形的面積公式可得出關于m的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．

解：（1）令x=0得：y=4，
∴B（0，4）．
∴OB=4
令y=0得：0=-x+4，解得：x=3，
∴A（3，0）．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，AB=．
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C（8，0）．設OD=x，則CD=DB=x+4．
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82，解得：x=6，
∴D（0，-6）．
設CD的解析式為y=kx-6，將C（8，0）代入得：8k-6=0，解得：k=，
∴直線CD的解析式為y=x-6．

（2）過點P作PF∥y軸交CD于F, ∵P點在直線BA上，設P(m, m 4),則F(m, m-6), ∴PF== , ∵,D(0,-6),C(8,0),∴ ×8=×8×6×=60,解得：m=-或m=12, ∴(-,),(12,-12),

綜上所述，在直線 AB 上存在一點 P為(-,),(12,-12).