Question

如圖，平面直角坐標系中，在第一象限的矩形ABCO的邊OA在y正半軸上，OC在x正半軸上，點D是線段OC上一點，過點D作DE⊥AD交直線BC于點E，以A、D、E為頂點作矩形ADEF．
（1）求證：△AOD∽△DCE；
（2）若點A坐標為（O，4），點C坐標為（7，0）．
①當點D的坐標為（5，0）時，若拋物線經過A、F、B三點，求該拋物線的解析式；
②當點D（k，0）是線段OC（不包括端點）上任意一點，則點F仍在①中所求的拋物線上嗎？請說明理由；
③當點A的坐標是（0，m），點C的坐標是（n，0），當點D在線段OC上運動時，是否了存在一條拋物線，使得點F始終落在該拋物線上？若存在，請直接寫出該拋物線的解析式（用含m、n表示）；若不存在，請說明理由．
（3）在第（2）題②的條件下，若點D（k，0）是在x軸上，且不在線段OC上的任意一點，其他條件不變，則點F是否還在①中所求的拋物線上？如果在，請以點D（k，0）在x負半軸上為例畫出示意圖（畫在備用圖上），并說明理由；如果不在，請舉反例說明．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質得到∠OAD=∠EDC后利用兩角對應相等的兩三角形相似證明即可；
（2）過F作FH⊥OC角OC于H，交AB于N，利用△AOD∽△DCE得到比例式求得CE的長，從而求得AFN≌△DEC，利用全等三角形的性質得到F點的坐標后利用待定系數法求得函數的解析式即可得到結論；
（3）利用以上兩個小題中證得的全等和相似分當FN≥4時，點F在x軸的上方和當FN＜4時，點F在x軸的上方兩種情況求得點F的坐標即可．

解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠EDC=90°，∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDC
∴△AOD∽△DCE；
（2）解：①過F作FH⊥OC角OC于H，交AB于N，
由題意得，AB=OC=7，AO=BC=4，OD=5，CD=2
∵△AOD∽△DCE，
∴

CE

OD

=

CD

AO

，即：

CE

5

=

2

4

，
∴CE=

5

2

，
∵四邊形ADEF是矩形，DE=AF，∠DAB+∠BAF=90°
又∵∠OAD+∠DAB=90°
∴∠OAD=∠BAF，
∴△AFN≌△DEC
∴AN=DC=2，FN=EC=

5

2

，
∴FH=

13

2

，
∴F點的坐標為（2，

13

2

），
由A（0.4），設A、F、B三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+4
由F（2，

13

2

）、B（7，4），
得

4a+2b+4= 13 2 49a+7b+4=4

，解得：

a=- 1 4 b= 7 4

∴過A、F、B三點的解析式為：y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
②理由是：由（2）中①可知，拋物線的解析式為：y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
當D（k，0）時，則OD=k，DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得：FN=CE=

k(7-k)

4

，AN=7-K，
∴F（7-k，4+

k(7-k)

4

），
將x=7-k代入y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
得y=

k(7-k)

4

+4，
∴點F仍在①中所求的拋物線上．
（3）如圖，點F還在①中所求的拋物線上，
理由是：過點F作直線FH⊥OC交OC于點H，交直線AB于N，
由（2）中①可知，拋物線的表達式為y=-

1

4

x²+

7

4

x+4，
點D（k，0），k＜0時，則OD=-k，DC=7-k，
同理，由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得：FN=CE=

k(7-k)

4

，AN=DC=7-K，
當FN≥4時，點F在x軸的上方，
FH=FN-4=-

k(7-k)

4

-4，點F的縱坐標是

k(7-k)

4

+4，
當FN＜4時，點F在x軸的上方
FH=4-FN=4+

k(7-k)

4

，點F的縱坐標也是

k(7-k)

4

+4，
故F（7-k，4+

k(7-k)

4

）
由（2）②可知點F在①中所求的拋物線上．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的幾何知識與函數知識的結合的題目更是近幾年中考的熱點考題之一．在求有關存在性問題時要注意分析題意分情況討論結果．