Question

【題目】若存在正常數a，b，使得x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，則稱f（x）為“限增函數”．給出下列三個函數：①f（x）=x2+x+1；② ；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函數”的是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：對于①，f（x+a）≤f（x）+b可化為：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b， 即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤ 對一切x∈R均成立，
由函數的定義域為R，故不存在滿足條件的正常數a、b，故f（x）=x2+x+1不是“限增函數”；
對于②，若f（x）= 是“限增函數”，則f（x+a）≤f（x）+b可化為： ≤ +b，
∴|x+a|≤|x|+b2+2b 恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b ，∴ ≥ ，
顯然當a＜b2時式子恒成立，∴f（x）= 是“限增函數”；
對于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，
∴當b≥2時，a為任意正數，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“限增函數”．
故選B．
【考點精析】通過靈活運用全稱命題，掌握全稱命題：，，它的否定：，;全稱命題的否定是特稱命題即可以解答此題．