Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸交于點A、B（點A在點B左側），與y軸交于點C（0,－3），且拋物線的對稱軸是直線x=1．

（1）求b的值；
（2）點E是y軸上一動點，CE的垂直平分線交y軸于點F，交拋物線于P、Q兩點，且點P在第三象限．當線段PQ = AB時，求點E的坐標；
（3）若點M在射線CA上運動，過點M作MN⊥y軸，垂足為N，以M為圓心，MN為半徑作⊙M,當⊙M與x軸相切時，求⊙M的半徑.

Answer 1

（1）b="-2" （2）點E的坐標為（0，- ） （3）

試題分析：解：（1）由圖可知，對稱軸x=1
X===1
即b=-1
（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=1
∴設拋物線的解析式為y＝(x-1)²＋k
∵拋物線過點C（0,－3），
∴ (0-1)²＋k＝-3
解得k＝-4
拋物線的解析式為y＝(x-1)²-4＝x²-2x-3
令y=0，則x²-2x-3=0
解得x₁ = 3，x₂ = -1
點A坐標為（-1,0），點B坐標為（3,0）
∴AB=4，又PQ = AB
∴PQ ="3"
∵PQ⊥y軸
∴PQ∥x軸
設直線PQ交直線x=1于點G
由拋物線的軸對稱性可得，PG=
∴點P的橫坐標為 -  
將點P的橫坐標代入y＝x²-2x-3中，得y =" -"
∴點P坐標為（- ，- ）
∴點F坐標為（0，- ）
∴FC=" -"  -( -3)=  
∵PQ垂直平分CE
∴CE="2" FC=
∴點E的坐標為（0，- ）
(3)設直線l _{A C}：y="k" x+ b(k≠0)
過點A（-1,0），C（0，-3）
∴y=-3x+3
∴M（x_M,-3x_M+3）
又∵⊙M與x軸相切，MN⊥y軸
∴x _M=-3x_M+3
∴x _M=
∴⊙M的半徑為

點評：此類題可以利用拋物線的對稱性可求出拋物線的解析式，函數值，兩點間的距離，點的坐標，利用對稱點的坐標也可以求出其對稱軸，要認真體會，靈活應用。