Question

已知拋物線交y軸于點A，交x軸于點B,C（點B在點C的右側）。如圖，過點A作垂直于y軸的直線l. 在y軸右側、位于直線l下方的拋物線上任取一點P，過點P作直線PQ平行于y軸交直線l于點Q，交x軸于R，連接AP.

（1）求A，B，C三點的坐標；
（2）如果以A，P，Q三點構成的三角形與△AOC相似，求出點P的坐標；
（3）若將△APQ沿AP對折，點Q的對應點為點M. 是否存在點P，使得點M落在x軸上.若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）A(0，4)，B(4，0)，C(-1，0)；（2），；（3） 

試題分析：（1）分別求得拋物線與坐標軸的交點坐標即可得到結果；
（2）設，則，，分與兩種情況分析即可得到結果；
（3）構造正方形PQEF，ME=OA=4，AM=AQ=x，則PM=，證得～，根據相似三角形的性質可表示出PF，從而可以表示出CM，在中，根據勾股定理即可列方程求得結果.
（1）在中，
當時，；
當時，，解得
∴A(0，4)，B(4，0)，C(-1，0)；
（2）設，則，
當時，得，解得，此時 
當時，得 ，解得，此時；
（3）如圖構造正方形PQEF，ME=OA=4，AM=AQ=x

PM=，
證得～   
有，即，解得   
∴     
在中，



∴.
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對二次函數的熟練掌握情況.