Question

【題目】如圖1，C是線段BE上一點，以BC、CE為邊分別在BE的同側作等邊△ABC和等邊△DCE，連結AE、BD．
（1）求證：BD=AE；
（2）如圖2，若M、N分別是線段AE、BD上的點，且AM=BN，請判斷△CMN的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC、△DCE均是等邊三角形，

∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△DCB和△ACE中，

，

∴△DCB≌△ACE（SAS），

∴BD=AE

（2）解：△CMN為等邊三角形，理由如下：

由（1）可知：△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，

∵AC=BC，AM=BN，

在△ACM和△BCN中，

，

∴△ACM≌△BCN（SAS），

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，

∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，

∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，

∴△CMN為等邊三角形

【解析】（1）由等邊三角形的性質，可證明△DCB≌△ACE，可得到BD=AE；（2）結合（1）中△DCB≌△ACE，可證明△ACM≌△BCN，進一步可得到∠MCN=60°且CM=CN，可判斷△CMN為等邊三角形．