Question

【題目】如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動圓圓心Q從點O出發，沿著OA方向以1個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點P從點A出發，沿著AB方向也以1個單位長度/秒的速度勻速運動，設運動時間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個交點分別為C、D，連結CD、QC．

（1）當t為何值時，點Q與點D重合？

（2）當⊙Q經過點A時，求⊙P被OB截得的弦長．

（3）若⊙P與線段QC只有一個公共點，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0＜t≤或＜t≤5．

【解析】（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由題意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直徑，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，當Q與D重合時，AD+OQ=OA，∴，∴t=；

（2）當⊙Q經過A點時，如圖1，OQ=OA﹣QA=4，∴t==4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，過點P作PE⊥OB于點E，⊙P與OB相交于點F、G，連接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，由垂徑定理可求知：FG=2EF=；

（3）當QC與⊙P相切時，如圖2，此時∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴當0＜t≤時，⊙P與QC只有一個交點；

當QC⊥OA時，此時Q與D重合，由（1）可知：t=，∴當＜t≤5時，⊙P與QC只有一個交點，綜上所述，當，⊙P與QC只有一個交點，t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤5．