Question

【題目】直線AB、CD相交于點O.
（1）OE、OF分別是∠AOC、∠BOD的平分線.畫出這個圖形.
（2）射線OE、OF在同一條直線上嗎?(直接寫出結論)
（3）畫∠AOD的平分線OG.OE與OG有什么位置關系?并說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖中紅線所示

（2）解：∵ OE平分∠AOC ,OF平分∠BOD ,
∴ ∠COE=∠AOC ,∠DOF=∠BOD ,
∵ ∠AOC=∠BOD ,
∴ ∠EOC=∠DOF
,∵ ∠COE＋∠EOD=180° ,
∴ ∠EOD＋∠DOF=180° ,
即射線OE、OF在同一條直線上 。
（3）解：∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°，∴∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，∴OE⊥OG
【解析】（1），用圓規在OA、OC上分別截取相等的線段，以與兩邊的交點為圓心，以大于交點間的距離的長為半徑作弧，兩弧在∠AOC內交于點E，作射線OE，則OE就是∠AOC的平分線，同理作出∠BOD的平分線；
（2），要判斷射線OE，OF是否在同一直線上，只需判斷∠EOD+∠DOF=180°是否成立，根據角平分線的性質可得 ∠COE=∠AOC ,∠DOF=∠BOD ,
再結合對頂角相等得， ∠EOC=∠DOF ,根據平角的定義得∠COE＋∠EOD=180° , 從而得出 ∠EOD＋∠DOF=180° ，即射線OE、OF在同一條直線上 ；
（3），根據角平分線的定義及對頂角相等得出∠AOE＝∠DOF ，∠AOG＝∠DOG ，根據平角的定義得出∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180° ，從而得出∠DOF＋∠DOG＝180°÷2＝90°，即OE⊥OG 。