Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為矩形，，，為直線上一動點，將直線繞點逆時針方向旋轉交直線于點；

（1）當點在線段上運動（不與重合）時，求證：OA·BQ=AP·BP；

（2）在（1）成立的條件下，設點的橫坐標為，線段的長度為，求出關于的函數解析式，并判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。

（3）直線上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

略

解析:（1）證明：∵四邊形OABC為矩形

∴∠OAP=∠QBP=90°，

∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP

∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ

∴

∴OA·BQ=AP·BP   ----------------------3分

(2)   由（1）知OA·BQ=AP·BP   ∴3×BQ=m(4-m)  ∴BQ=

∴CQ=3-=

即L=    (0＜m＜4)

=

∴當m=2 時，   L（最小）=   -----------------6分

(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ為等腰三角形，則PO=PQ .

當點P在線段AB上時，如圖    

       

AOP≌△BPQ  ∴PB=AO=3 

∴AP=4-3=1

∴(1,3)

當點P在線段AB的延長線上時，如圖   

     

此時△QBP≌△PAO 

∴PB=AO=3 ∴AP=4+3=7              

∴(7,3)                                       

當點P在線段AB的反向延長線上時，如圖

     

此時∵PB＞AB＞AO,

∴△PQB不可能與△OPA全等,

即PQ不可能與PO相等,

此時點P不存在.

綜上所述，知存在(1,3), (7,3).  ---------------9分