Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點E在CD上，DE=1，點F是邊AB上一動點，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則AF的值是________.

Answer 1

【答案】0或1＜AF＜ 或4.

【解析】

先根據圓周角定理確定點P在以EF為直徑的圓O上，且是與矩形ABCD的交點，當F與A和B重合時，有兩個直角三角形，都符合條件，即AF=0或4，再找⊙O與AD和BC相切時AF的長，此時⊙O與矩形邊各有一個交點或三個交點，在之間運動過程中符合條件，確定AF的取值.

解：以EF為斜邊的直角三角形的直角頂點P是以EF為直徑的圓與矩形邊的交點, 取EF的中點O,

(1) 如圖1, 當圓O與AD相切于點G時, 連結OG, 此時點G與點P重合,只有一個點, 此時AF=OG=DE=1;

(2) 如圖2,

當圓O與BC相切于點G, 連結OG,EG, FG, 此時有三個點P可以構成Rt△EFP,

∵OG是圓O的切線,∴OG⊥BC

∴OG∥AB∥CD

∵OE=OF,

∴BG=CG,∴OG= (BF+CE),

設AF=x, 則BF=4-x, OG= (4-x+4-1)= (7-x)

則EF=2OG=7-x, EG=EC+CG=9+1=10,FG=BG+BF=1+(4-x) ，

在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF=EG+FG ,

得(7-x) =10+1+(4-x)2,解得x= ，

所以當1<AF<時,以EF為直徑的圓與矩形ABCD的交點 (除了點E和F) 只有兩個;

(3)因為點F是邊AB上一動點:

當點F與B點重合時, AF=4, 此時Rt△EFP正好有兩個符合題意，如圖3;

故答案為0或1＜AF＜ 或4.