Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作FG⊥AC于點F，交AB的延長線于點G．

（1）求證：GD為⊙O切線；

（2）求證：DE2=EF·AC；

（3）若tan∠C=2，AB=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE=3.

【解析】

(1)欲證明FG是⊙O的切線，只要證明OD⊥FG；

(2) 連接AD，然后求證Rt△CDF∽Rt△CAD,即可解答;

（3）由題意得出∠ABC=∠C，tan∠ABC=tan∠C=，根據直角三角形的三角函數得出CF=1，即可解答.

解：（1）如答圖1，連接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DG⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴GD為⊙O切線；

（2）如答圖2，連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴CD=BD，∠EAD=∠BAD，

∴BD=DE=CD，

∵DF⊥AC，

∴CF=EF，

∵Rt△CDF∽Rt△CAD，

∴，即CD2=CF·AC，

∴DE2=EF·AC；

（3）如答圖2，∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，tan∠ABC=tan∠C=，∵AB=5，

∴BD=DC=，在Rt△CDF中，

∵tan∠C=2，∴CF=1，由（2）知,，EF=CF，

∴EF=CF=1，CE=2，所以AE=AC-CE=AB-CE=5-2=3．

答圖1 答圖2