Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c與直線y＝x+3分別相交于A，B兩點，且此拋物線與x軸的一個交點為C，連接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出這個最大值；

（3）點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q，問：是否存在點P使得以A，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+3；（2）|MB﹣MC|取最大值為；（3）存在，點P（1，6）．

【解析】

（1）①將A（0，3），C（-3，0）代入y=x2+bx+c，即可求解；

（2）分當點B、C、M三點不共線時、當點B、C、M三點共線時，兩種情況分別求解即可；

（3）分當時、當時兩種情況，分別求解即可．

（1）將A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得，

∴拋物線的解析式是y＝x2+x+3；

（2）將直線y＝x+3表達式與二次函數表達式聯立并解得：x＝0或﹣4，

∵A （0，3），

∴B（﹣4，1）

①當點B、C、M三點不共線時，

|MB﹣MC|＜BC，

②當點B、C、M三點共線時，

|MB﹣MC|＝BC，

∴當點、C、M三點共線時，|MB﹣MC|取最大值，即為BC的長，

過點B作x軸于點E，

在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，

∴|MB﹣MC|取最大值為；

（3）存在點P使得以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

設點P坐標為（x，x2+x+3）（x＞0）

在Rt△BEC中，

∵BE＝CE＝1，

∴∠BCE＝45°，

在Rt△ACO中，

∵AO＝CO＝3，

∴∠ACO＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣450﹣450＝900，AC＝3，

過點P作PQ⊥PA于點P，則∠APQ＝90°，過點P作PQ⊥y軸于點G，

∵∠PQA＝∠APQ＝90°

∠PAG＝∠QAP，

∴△PGA∽△QPA

∵∠PGA＝∠ACB＝90°

∴①當時，

△PAG∽△BAC，

∴，

解得x1＝1，x2＝0，（舍去）

∴點P的縱坐標為×12+×1+3＝6，

∴點P為（1，6）；

②當時，

△PAG∽△ABC，

∴，

解得x1＝﹣（舍去），x2＝0（舍去），

∴此時無符合條件的點P

綜上所述，存在點P（1，6）．