Question

【題目】如圖，直徑為10的⊙O經過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x2+kx+48=0的兩根．

（1）求線段OA、OB的長；

（2）已知點C在劣弧OA上，連結BC交OA于D，當OC2=CD·CB時，求C點的坐標；

（3）在⊙O上是否存在點P，使S△POD=S△ABD．若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）OA=8，OB=6；（2）C（4，-2）；（3）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）根據根與系數的關系寫出OA+OB和OAOB的值．連接AB，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，再結合勾股定理列方程求解．

（2）若OC2=CDCB，則三角形OCB相似于三角形DCO，則∠COD=∠CBO．又∠COD=∠CBA，則∠CBO=∠CBA，所以點C是弧OA的中點．連接O′C，根據垂徑定理的推論，得O′E⊥OA．再進一步根據垂徑定理和勾股定理進行計算即可．

（3）首先求得直線BC的解析式，求得D的坐標，根據面積相等即可求得P的縱坐標，根據圓的直徑即可作出判斷．

解：（1）連接AB，∵∠BOA=90°，

∴AB為直徑，根與系數關系得OA+OB=-k，OAOB=48；

根據勾股定理，得OA2+OB2=100，

即（OA+OB）2-2OAOB=100，

解得k2=196，∴k=±14（正值舍去）．

則有方程x2-14x+48=0，x=6或8．

又OA＞OB，

∴OA=8，OB=6．

（2）若OC2=CD×CB，則△OCB∽△DCO，

∴∠COD=∠CBO，

又∵∠COD=∠CBA，

∴∠CBO=∠CBA，

所以點C是弧OA的中點．

連接O′C交OA于點D，根據垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，

根據垂徑定理，得OD=4，

根據勾股定理，得O′D=3，

∴CD=2，即C（4，-2）．

（3）設直線BC的解析式是y=kx+b，把B（0,6）,C（4,-2）代入

解得：K=-2,b=6

則直線BC的解析式是y=-2x+6，

令y=0，解得：x=3，

則OD=3，AD=8-3=5，

∴S△ABD=×5×6=15．

若S△ABD=S△OBD，P到x軸的距離是h，

則×3h=15，解得：h=10．

而⊙O′的直徑是10，因而P不能在⊙O′上，

故P不存在．