Question

【題目】如圖1，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作，交AB于點(diǎn)D，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

直接用含t的代數(shù)式分別表示：______，______；

是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由．

如圖2，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線(xiàn)段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見(jiàn)解析；（3）2

【解析】

由根據(jù)路程等于速度乘以時(shí)間可得,,,則,根據(jù),,可得:,根據(jù)相似三角形的判定可得:∽,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得:

,即,從而解得:,

(2)根據(jù),當(dāng)時(shí),可判定四邊形PDBQ為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得:,解得:,

(3)根據(jù)題意可得:,當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,

設(shè)直線(xiàn)的解析式為:,則,解得:,因此直線(xiàn)的解析式為:,再根據(jù)題意得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為,當(dāng)時(shí),,因此點(diǎn)M在直線(xiàn)上,作軸于N,則,,由勾股定理得,,

因此線(xiàn)段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

由題意得,,,

則,

,,

,

∽,

,即,

解得:,

故答案為:,,

存在,

,

當(dāng)時(shí),四邊形PDBQ為平行四邊形,

,

解得:,

則當(dāng)時(shí),四邊形PDBQ為平行四邊形,

以點(diǎn)C為原點(diǎn),以AC所在的直線(xiàn)為x軸,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,

由題意得:,

當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,

當(dāng)時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為,

設(shè)直線(xiàn)的解析式為:,

則,

解得:,

直線(xiàn)的解析式為：,

由題意得:點(diǎn)P的坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,

在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為,

當(dāng)時(shí),,

點(diǎn)M在直線(xiàn)上,

作軸于N,

則,,

由勾股定理得,,

線(xiàn)段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.