Question

【題目】數學活動 實驗、猜想與證明

問題情境

（1）數學活動課上，小穎向同學們提出了這樣一個問題：如圖（1），在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分別是AB，CD的中點，作射線MN，連接MD，MC，請直接寫出線段MD與MC之間的數量關系．

解決問題

（2）小彬受此問題啟發，將矩形ABCD變為平行四邊形，其中∠A為銳角，如圖（2），AB=2BC，M，N分別是AB，CD的中點，過點C作CE⊥AD交射線AD于點E，交射線MN于點F，連接ME，MC，則ME=MC，請你證明小彬的結論；

（3）小麗在小彬結論的基礎上提出了一個新問題：∠BME與∠AEM有怎樣的數量關系？請你回答小麗提出的這個問題，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）MD=MC；（2）證明見解析；（3）∠BME=3∠AEM，證明見解析

【解析】

（1）根據矩形的性質可得AD=BC，∠A=∠B=90°，然后利用SAS證出△AMD≌△BMC，即可得出結論；

（2）根據平行四邊形的判定證出四邊形AMND和四邊形MBCN為平行四邊形，利用平行線分線段成比例定理證出CF=EF，從而得出MN垂直平分CE，根據垂直平分線的性質即可證出結論；

（3）根據平行四邊形的性質可得AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC，然后根據平行線的性質、三線合一和等邊對等角證出∠AEM=∠EMF、∠BMC=∠NMC、∠EMF=∠NMC，從而證出結論．

解：（1）MD=MC

∵四邊形ABCD為矩形

∴AD=BC，∠A=∠B=90°

∵點M為AB的中點

∴AM=BM

在△AMD和△BMC中

∴△AMD≌△BMC

∴MD=MC

（2）∵M，N分別是AB，CD的中點，

∴AM=BM，CN=DN

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD，AB=CD

∴AM=BM= CN=DN

∴四邊形AMND和四邊形MBCN為平行四邊形

∴AD∥MN

∴

∴CF=EF

∵CE⊥AD

∴CE⊥MN

∴MN垂直平分CE

∴ME = MC

（3）∠BME=3∠AEM，證明如下：

∵四邊形AMND和四邊形MBCN為平行四邊形

∴AD∥MN∥BC，CF∥BM，MN=BC

∴∠AEM=∠EMF，∠NCM=∠BMC

∵AB=2BC，AB=CD=2CF

∴CF=MN

∴∠NCM=∠NMC

∴∠BMC=∠NMC

∵ME = MC，MF⊥CE

∴∠EMF=∠NMC

∴∠BME=∠EMF＋∠NMC＋∠BMC=3∠EMF=3∠AEM

即∠BME=3∠AEM