Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，若AB=4，AD=3，求OE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴CE=DE=BE=

1

2

BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為圓O的切線；

（2）在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，
根據勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=

7

，
∵∠DAB=∠BAC，∠ADB=∠CBA=90°，
∴△ADB∽△ABC，
∴

AD

AB

=

DB

BC

，即

3

4

=

7

BC

，
解得：BC=

4 7

3

，
在Rt△ABC中，根據勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=

16

3

，
∵E為BC的中點，O為AB的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
則OE=

1

2

AC=

8

3

．