Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G、F，H為CG的中點，連接DE、EH、DH、FH．下列結論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若 = ，則3S△EDH=13S△DHC ， 其中結論正確的有（填寫序號）．

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD， ∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG為等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，
∴EG=DF，故①正確；
②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；
③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH= ∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中， ，
∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；
④∵ = ，
∴AE= BE，
∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中， ，
∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD為等腰直角三角形，
過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：

設HM=x，則DM=2x，DH= x，CD=3x，
則S△DHC= ×HM×CD= x2 ， S△EDH= ×DH2= x2 ，
∴3S△EDH=5S△DHC ， 故④錯誤；
故答案為：①②③．
①根據題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；
②由SAS證明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；
③同②證明△EHF≌△DHC即可；
④若 = ，則AE= BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，設HM=x，則DM=2x，DH= x，CD=6x，則S△DHC= ×HM×CD= x2 ， S△EDH= ×DH2= x2 ．