Question

【題目】平面直角坐標系中，橫坐標為2的點A在反比例函數y(k＞0)的圖象上，過點A作AB⊥x軸于點B，．

(1)求k的值；

(2)在x軸的負半軸上找點P，將點A繞點P順時針旋轉90°，其對應點A落在此反比例函數第三象限的圖象上，求點P的坐標；

(3)直線yx+n(n＜0)與AB的延長線交于點C，與反比例函數圖象交于點E，若點E到直線AB的距離等于AC，求n的值．

Answer 1

【答案】(1)k=8；(2)點P坐標為(﹣1，0)；(3)n的值為﹣3或．

【解析】

（1）設OAa，則AB＝2a，OB＝2，利用勾股定理解出a，得到A點，代入得到k即可；（2）過點A′作AG⊥x軸交于點G，設點P(a，0)，易證△PAB≌△A′PG，得到點A′的坐標為(a+4，a﹣2)，得(a+4)(a﹣2)＝8，解出a即可；（3）設線yx+n(n＜0)與AB和雙曲線分別交于點C、點E(E′)，過點E(E′)作E(′E)F(F′)⊥AB交于點F(F′)，E點有兩種情況，在第一象限或者第三象限，將直線表達式與反比例函數表達式聯立，用n表示出EF，E到直線AB的距離為FE等于AC，得到方程解出n即可

解：(1)，設：OAa，則AB＝2a，OB＝2，

由勾股定理得：(a)2＝(2a)2+4，解得：a＝2，

則點A(2，4)，

則k＝2×4＝8；

(2)點A繞點P順時針旋轉90°，點A對應點A′落在此反比例函數第三象限的圖象上，

過點A′作AG⊥x軸交于點G，設點P(a，0)，

∵∠PAB+∠BPA＝90°，∠BPA+∠A′PG＝90°，

∴∠A′PG＝∠PAB，

∠ABP＝∠A′GP＝90°，PA＝PA′，

∴△PAB≌△A′PG(AAS)，

∴PG＝AB＝4，GA′＝PB＝2﹣a，

則點A′的坐標為(a+4，a﹣2)，

則(a+4)(a﹣2)＝8，

解得：a＝﹣1(正值已舍去)

故點P坐標為(﹣1，0)；

(3)設線yx+n(n＜0)與AB和雙曲線分別交于點C、點E(E′)

過點E(E′)作E(′E)F(F′)⊥AB交于點F(F′)，

①當直線與雙曲線交點為E時，

則點C(2，1+n)，AC＝4﹣1﹣n＝3﹣n，

將直線表達式與反比例函數表達式聯立并整理得：x2+2nx﹣16＝0，

解得：x＝﹣n±，則xE＝﹣n，

則EF＝﹣n2，

E到直線AB的距離為FE等于AC，

則﹣n2＝3﹣n，

解得：n＝﹣3(正值已舍去)；

②當直線與雙曲線交點為E′時，

同理可得：n；

故：n的值為﹣3或．